坐标转换原理

对目标机器人位姿进行检测，需求解其与激光跟踪关节臂测量系统的坐标关系，下面对其原理进行简述。

坐标系定义
为了说明各测量设备之间的坐标关系，对每台设备定义了相应的坐标系，{B}为机器人基坐标系；{T}为机器人工件坐标系，在该系统里代表末端专用靶球检具；{S}为激光跟踪仪坐标系；{A}为关节臂测头坐标系；{F}为跟踪定位靶球夹具坐标系；{G}为定位靶球检具坐标系。

坐标系的转换原理
设笛卡尔坐标系{A}，AP为空间中一个矢量，则该矢量在{A}坐标系下可表示为：

AP=???pxpypz???
(1)
{B}坐标系相对于{A}坐标系的转换矩阵可表示为：

ABR=(AXB,AYB,AZB)=??r11r12r13r21r22r23r31r32r33??
(2)
刚体绕X、Y、Z轴旋转θ角的公式：

RX(θ)=???1000cosθsinθ0?sinθcosθ???
(3)
RY(θ)=???cosθ0?sinθ010sinθ0cosθ???
(4)
RZ(θ)=???cosθsinθ0?sinθcosθ0001???
(5)
AXB,AYB,AZB为坐标系{B}三个坐标轴的单位矢量。rij是每个矢量在参考坐标系{A}中，轴线方向上的投影。由齐次矩阵的性质可知：

ABR=BAR?1=BART
(6)
位置转换
已知点BP在{B}坐标系下的位置，那么可以得到矢量AP在{A}坐标系的位置坐标为：

AP=BP+APA?B
(7)
APA?B为{A}坐标系与{B}坐标系的平移关系。

姿态转换
已知点BP在{B}坐标系下的姿态，转换为该点相对于{A}坐标系的描述AP。

AP=ABRBP
(8)
其中，ABR为{B}坐标系相对于{A}坐标系的旋转。

因此，已知BP在坐标系{B}的描述，{B}与{A}的平移APA?B和旋转ABR，为了求取AP在{A}坐标系的描述，定义了一个4×4的齐次变换矩阵：

(AP1)=(ABR0APA?B1)(BP1)
(9)
其中，ABT=(ABRAPA?B01)，为坐标系{B}相对于{A}的转换。

其逆变换为：

BAT=(ABRT0?ABRTAPA?B1)
(10)